Tout sur la spirale d'Archimède

Archimède à qui l’on doit la spirale qui porte son nom est un savant grec qui a réalisé plusieurs travaux en mathématiques et en physique peu de siècles av. J.-C. La découverte de cette spirale avait pour objectif de résoudre certains problèmes de géométrie. L’objectif n’avait été atteint que partiellement au départ. De même qu’une spirale logarithmique, la spirale d’Archimède présente des particularités qui ont intéressé d’autres mathématiciens des siècles plus tard.

Présentation

Archimède
Archimède de Syracuse (287-212 av. J.-C.) est un savant grec né en 287 av. J.-C. et mort à l’âge de 75 ans. Il est célèbre pour ses travaux en physiques et en géométrie. On accorde souvent la découverte de la fameuse spirale à son disciple Conon de Samos. Définition On parle de la spirale d’Archimède pour designer une trajectoire curviligne décrite par un point P en mouvement uniforme sur une ligne droite "d". Cette dernière décrit en même temps un mouvement rotatoire autour d’un point. En d’autres termes, il s’agit de l’ensemble de points d’une ligne courbe réalisée par le déplacement d’un point sur une droite en rotation autour d’un point. La piste d’un disque vinyle est un exemple illustratif de la spirale d’Archimède. Construction de spirales d’Archimède Le dessin de la spirale d’Archimède peut se réaliser en plaçant une feuille sur un support soumis à un mouvement rotatoire uniforme autour d’un axe passant par le centre c, le stylo s’écartant de c suivant une droite dans un mouvement uniforme. On peut également obtenir la spirale d’Archimède en projetant orthogonalement la spirale conique de Pappus sur un plan perpendiculaire à l’axe du cône.

Objectif

Au départ, la spirale d’Archimède avait pour objectif de résoudre le problème de la construction d’un segment de longueur identique à la circonférence d’un cercle, ou brièvement, la quadrature du cercle. En fin de compte son introduction n’a pas pu répondre à toutes les questions avant les découvertes de Gottfried Wilhelm Leibniz et d’Isaac Newton vers la fin du XVIIe ou début du XVIIIe siècle.

Théorème de Chasles

D’après ce théorème, la spirale d’Archimède est la roulette obtenue en faisant rouler une droite sur un cercle de centre "o" et de rayon "r" et en prenant un point traceur "p" situé à une distance à la droite égale au rayon "r" du cercle. La projection du point "p" sur la droite traçant est une développante de cercle, ce qui implique que la spirale d’Archimède est également la podaire de la développante de cercle.